fc2ブログ

フェルマー点(トリチェリ点)について


 フェルマー点トリチェリ点)とは

 \(120^{\circ} を内角に持たない\triangle ABC\)の各頂点からの距離の和が最小である点\(P\)
 すなわち、\(AP+BP+CP\) が最小である点である。

       フェルマー点

 特徴としては、

 ① \(\angle APB=\angle BPC =\angle CPA = 120^{\circ} \)

 ② 図のように\(\triangle ABC \)の各辺を一辺とする
  正三角形\(\triangle DAB,\triangle EAC,\triangle FBC \)をつくると
 \(AF,CD,BE\)の交点が\(P\)である。

 ③ 外側の3つの正三角形の外接円は,フェルマー点で交わる。(ナポレオンの定理)

 ◎ この問題は、フェルマーがトリチェリに出した問題として有名である。
  また、PからA,B,Cに電線ををひくとき、電線の長さが一番最短になる点
  である等、実用性の高い問題である。



 解説

フェルマー点

\(\triangle ABC\)の内部にある点\(P_{0}\)を\(B\)を中心に\(60^{\circ}\)回転した点を\(Q_{0}\)とする。

このとき,\(\triangle BP_{0}Q_{0}\)は正三角形

よって,\(BP_{0}=P_{0}Q_{0}\)

また,\(\triangle P_{0}BA \equiv \triangle Q_{0}BD \)より

\(AP_{0} = DQ_{0}\)


よって,\(AP_{0}+BP_{0}+CP_{0}=DP_{0}+Q_{0}P_{0}+CP_{0} \)

これが最小となるためには,\(D,Q_{0},P_{0},C\) が一直線上にあることである。



\(P_{0},Q_{0}\)が\(DC\)上にあるとき、\(\angle BP_{0}Q_{0}=60^{\circ} \)であるから,

\(\angle CP_{0}B=120^{\circ}\)


フェルマー点


同様に

\(AF,BE\)を作図すれば,

\(\angle APC=\angle APB=\angle BPC=120^{\circ} \)

と言える。

ちなみに,\(120^{\circ}\)以上角を持つときは、点\(P\)は,\(\triangle ABC\)の外側にある。

◎ この問題は、フェルマーがトリチェリに出した問題として有名である。
  また、PからA,B,Cに電線ををひくとき、電線の長さが一番最短になる点
  である等、実用性の高い問題である。
スポンサーサイト



テーマ : 数学
ジャンル : 学問・文化・芸術

tag : 初等幾何fermatフェルマー点ナポレオントリチェリ点

プロフィール

nakkerfc2math

Author:nakkerfc2math
私42才のおじさんです。

趣味は、写真、釣り、旅行。

こちらもよろしく!!


数学ランキング

最新記事
最新コメント
月別アーカイブ
カテゴリ
ようこそ!
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる